1. 狄利克雷分布：

   是一个多维分布，一个K 维狄利克雷分布的参数是一个K维向量 =[ …]，

狄利克雷分布的概率密度函数为：

——————————————————————1

其中 是变量，且 ； 表示伽马函数。在这里伽马函数部分充当的是归一化因子的作用。

我们把狄利克雷分布记作 。

2．分类分布（Categorical distribution），也叫离散分布（Discrete Distribution）：

    概率质量函数（分布列，相当于在连续分布中的概率密度函数）为：

，其中 ——————————————————2

这个函数的意思就是，变量z取值为k的概率是。

记作。

3.多项式分布：

我们从中采样N 次，把取值为k 的样本个数记为，那么随机变量服从参数为N和的多项式分布（Multinomial Distribution），其概率质量函数为

————————————————————————3

 

 

由以上三个分布的概率质量函数，现在以狄利克雷分布为先验（即让离散分布和多项分布中的参数π服从狄利克雷分布），在有了N个观测样本之后参数π的后验分布为：

    ————————————————————————4    

比较得，π的先验分布（式1）与后验分布（式4）具有相同的形式不同的参数，所以我们说狄利克雷分布是离散分布和多项式分布的共轭先验。

当我们观察到更多的样本时，只需更新后验分布的参数便可得到新的后验分布为而不需要对π的分布进行估计。这是以狄利克雷分布作为先验的优势所在。